Problema 957

a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro λ:

\left\{\begin{array}{rl}\lambda x+z&=1\\x+y+\lambda z&=1\\x-y+z&=1\end{array}\right.

b) Resolverlo para λ=1.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}\lambda&0&1\\1&1&\lambda\\1&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M:

|M|=\begin{vmatrix}\lambda&0&1\\1&1&\lambda\\1&-1&1\end{vmatrix}=\lambda-1-1+\lambda^2=\lambda^2+\lambda-2

Igualando a 0 resulta una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son λ=1 y λ=-2.

  • Si λ≠1 y λ≠-2, el rg(M)=3=rg(M*)=n, luego el sistema es compatible determinado.
  • Si λ=1, se tiene M=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}=1\neq0.
    Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada M*:
    \begin{vmatrix}1&0&1\\1&1&1\\1&-1&1\end{vmatrix}=0
    Luego, rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si λ=-2, se tiene M=\begin{pmatrix}-2&0&1\\1&1&-2\\1&-1&1\end{pmatrix} cuyo rango es también 2 ya que \begin{vmatrix}-2&0\\1&1\end{vmatrix}=-2\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M*:
    \begin{vmatrix}-2&0&1\\1&1&1\\1&-1&1\end{vmatrix}=-2-1-1-2=-6\neq0
    Luego, rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.

b) Para λ=1 tenemos el sistema

\left\{\begin{array}{rl}x+z&=1\\x+y+z&=1\\x-y+z&=1\end{array}\right.

que es equivalente a

\left\{\begin{array}{rl}x+z&=1\\x+y+z&=1\end{array}\right.

Parametrizamos z=\mu:

\left\{\begin{array}{rl}x&=1-\mu\\x+y&=1- \mu\end{array}\right.

Observamos que x=1-\mu. Sustituyendo en la segunda ecuación:

1-\mu+y=1-\mu~;\\\\y=0

Luego, para λ=1 la solución del sistema es (x,y,z)=(1-\mu,0,\mu).

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s