Problema 958

Determinar la recta r´ que es simétrica de r\equiv~x+2=y=z-2, respecto del plano \pi\equiv~x-z+2=0.


Solución:

Calculamos primero la posición relativa de la recta r y el plano π.
Escribimos r en paramétricas:

\left\{\begin{array}{l}x=-2+\lambda\\y=\lambda\\z=2+\lambda\end{array}\right.

Sustituimos las paramétricas de r en la implícita de π:

-2+\lambda-(2+\lambda)+2=0~;\\\\-2=0~!!!

Luego, recta y plano son paralelos. Esto significa que r está contenido en un plano paralelo a π, llamémoslo \pi_1:

\pi_1:~x-z+D=0

El plano \pi_1 pasa por un puntos de r, P_r=(-2,0,2), luego:

-2-2+D=0~;\\\\D=4

Luego \pi_1\equiv~x-z+4=0.

El plano \pi_2 simétrico de \pi_1 respecto del plano π es, por simetría:

\pi_2:~x-z=0

La recta r´ simétrica de r respecto del π está contenida en \pi_2. Resta calcular un plano perpendicular a π que contenga a r. Llamemos a este plano α, que está formado por:

\alpha:~\left\{\begin{array}{l}P_r=(-2,0,2)\\\vec v_r=(1,1,1)\\\vec n_{\pi}=(1,0,-1)\end{array}\right.

Lo escribimos en forma vectorial:

\begin{vmatrix}x+2&y&z-2\\1&1&1\\1&0&-1\end{vmatrix}=-(x+2)+(1+1)y+(-1)(z-2)=-x+2y-z\\\\\alpha:~-x+2y-z=0

La recta buscada es r'=\pi_2\cap\alpha:

r':~\left\{\begin{array}{l}x-z=0\\-x+2y-z=0\end{array}\right.

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