Problema 959

Dada la función f(x)=3x^4+x^3-1, determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos y el número total de puntos en los que f se anula.


Solución:

Nos piden estudiar la monotonía de f. Comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

f'(x)=12x^3+3x^2~;\\\\12x^3+3x^2=0~;\\\\3x^2(4x+1)=0

Luego, los puntos críticos son x=0\text{ y }x=-\frac14. Dados estos puntos críticos y sabiendo que f es una función polinómica que está definida en todo \mathbb R donde es continua y derivable, estudiamos su monotonía en la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-\frac14)&(-\frac14,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f decrece en (-\infty,-\frac14)
  • f crece en (-\frac14,+\infty)
  • f presenta un mínimo en el punto (-\frac14,f(-\frac14))=(-\frac14,-\frac{257}{256})

Sabemos que:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}3x^4+x^3-1=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}3x^4+x^3-1=+\infty

Dado que f(-\frac14)<0, dado que se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano, y teniendo en cuenta la monotonía de f, concluimos que:

  • Existe un punto c_1\in(-\infty,-\frac14) tal que f(c_1)=0
  • Existe un punto c_2\in(-\frac14,+\infty) tal que f(c_2)=0

Luego, existen dos puntos en los que f se anula.

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