Dada la función , determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos y el número total de puntos en los que f se anula.
Solución:
Nos piden estudiar la monotonía de f. Comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):
Luego, los puntos críticos son . Dados estos puntos críticos y sabiendo que f es una función polinómica que está definida en todo
donde es continua y derivable, estudiamos su monotonía en la siguiente tabla de monotonía:
- f decrece en
- f crece en
- f presenta un mínimo en el punto
Sabemos que:
Dado que , dado que se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano, y teniendo en cuenta la monotonía de f, concluimos que:
- Existe un punto
tal que
- Existe un punto
tal que
Luego, existen dos puntos en los que f se anula.
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