Problema 960

Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x)=x\cos(x) y el eje de las x, cuando x pertenece al intervalo [0,\frac\pi2].


Solución:

Las funciones y=x e y=\cos(x) son funciones elementales conocidas, continuas en todo \mathbb R. También sabemos que ambas son mayores o iguales que 0 en el intervalo [0,\frac\pi2]. Luego, f es mayor o igual que 0 en dicho intervalo y el área S pedida es:

\displaystyle S=\int_0^{\frac\pi2}x\cos(x)~dx

Utilizamos el método de integración por partes para calcular esta integral:

\begin{array}{ll}u=x&\rightarrow du=dx\\dv=\cos(x)~dx&\rightarrow v=\text{sen}(x)\end{array}

de donde:

\displaystyle\int x\cos(x)~dx=x\,\text{sen}(x)-\int\text{sen}(x)~dx=\\\\=x\,\text{sen}(x)+\cos(x)

Luego:

S=\Big[x\,\text{sen}(x)+\cos(x)\Big]_0^{\frac\pi2}=\\\\=\left(\dfrac\pi2\,\text{sen}(\frac\pi2)+\cos(\frac\pi2)\right)-(0\cdot\text{sen}(0)+\cos(0))=\\\\=\dfrac\pi2-1\approx0.57\text{ u.a.}

CyL-MII-O-18-4A

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