Problema 963

Dada la recta r\equiv~x-1=\frac{y+1}2=z-1 y el plano \pi\equiv~x-y+z=0, se pide:

a) Determinar la posición relativa de r y π.
b) Hallar el plano paralelo a π situado a la misma distancia de r que π.


Solución:

a) Estudiamos la posición relativa de recta y plano sustituyendo las ecuaciones paramétricas de la recta en la implícita del plano:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=-1+2\lambda\\z=1+\lambda\end{array}\right.

r\subset\pi\\\\(1+\lambda)-(-1+2\lambda)+(1+\lambda)=0~;\\\\3+0\lambda=0~;\\\\3=0!!!

Hemos llegado a un absurdo, luego, r y π no se cortan, y en consecuencia la recta y el plano son paralelos.


b) Primero calculamos el plano paralelo a π que contiene a la recta r, que llamaremos α.
Por ser paralelo a π, el plano α tiene la forma x-y+z+D=0.
Por contener a la recta r, el plano α contiene a un punto cualquiera de r, por ejemplo, P_r=(1,-1,1). Sustituyendo estas coordenadas en la ecuación general de α:

1-(-1)+1+D=0~;\\\\3+D=0~;\\\\D=-3

De donde el plano α es x-y+z-3=0.
El coeficiente D del plano α es -3, el coeficiente D del plano π es 0, luego, por ser el plano α intermedio entre el plano π y el plano que nos piden (llamémoslo π´ de la forma x-y+z+D'=0), aplicando la fórmula del punto medio:

-3=\dfrac{0+D'}2~;\\\\-6=D'

Luego, el plano buscado es:

\boxed{\pi':~x-y+z-6=0}

CyL-MII-O-18-2B

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