Problema 964

Dada la función f(x)=xe^{-x}, determínese su dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. Esbócese también su gráfica.


Solución:

El dominio de f es todo \mathbb R ya que f es el producto de una función polinómica y=x y una función exponencial y=e^{-x} cuyos dominios son \mathbb R.

  • Asíntota vertical no tiene.
  • Asíntota horizontal:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}xe^{-x}=\underbrace{\infty\cdot0}_{IND}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac x{e^x}=\underbrace{\dfrac\infty\infty}_{IND}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac1{e^x}=\dfrac1\infty=0^+\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}xe^{-x}=-\infty\cdot\infty=-\infty
    Cuando x\rightarrow+\infty la función f tiende asintóticamente a y=0.
  • Asíntota oblícua (y=mx+n):
    \displaystyle\bullet~m=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{xe^{-x}}x=\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{-x}=e^{+\infty}=+\infty
    No tiene asíntota oblícua cuando x\rightarrow-\infty.

Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

f'(x)=e^{-x}+xe^{-x}(-1)=e^{-x}(1-x)=0~;\\\\\bullet~e^{-x}=0!!!\\\bullet~1-x=0\rightarrow x=1

Teniendo en cuenta el dominio de f y el único punto crítico x=1, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • f crece en (-∞,1)
  • f decrece en (1,+∞)
  • f tiene un máximo en el punto (1,f(1))=(1,\frac1e).

Para estudiar la curvatura de f comenzamos calculando los puntos de inflexión:

f''(x)=(e^{-x}(1-x))'=e^{-x}(-1)(1-x)+e^{-x}(-1)=e^{-x}(x-2)=0~;\\\\\bullet~e^{-x}=0!!!\\\bullet~(x-2)=0\rightarrow x=2

Teniendo en cuenta el dominio de f y su punto de inflexión, estudiamos la curvatura de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f''(x)&-&+\\\hline \mbox{Curvatura }f(x)&\mbox{C\'oncava }\cap&\mbox{Convexa }\cup\\\hline\end{array}

  • f es cóncava en (-∞,2)
  • f es convexa en (2,+∞)
  • f presenta un punto de inflexión en (2,f(2))=(2,\frac2{e^2})

Para esbozar la gráfica es interesante calcular los puntos de corte con los ejes:

  • Punto de corte con el eje x (y=0):
    xe^{-x}=0~;\\\bullet~x=0\\\bullet~e^{-x}=0!!!
    Corta al eje x en el punto (0,0), donde también corta al eje y.

Con toda la información aportada podemos hacer un esbozo semejante a la siguiente figura:

p964

CyL-MII-O-18-3B

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