Problema 965

a) Calcular \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x-\cos(x)}{\ln(1+x)}.

b) Calcular \int\dfrac{(\ln x)^2}x~dx.


Solución:

a) Recordemos que para resolver indeterminaciones del tipo 0/0 utilizamos la regla de L’Hôpital (recordar también la tabla de derivadas):

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x-\cos(x)}{\ln(1+x)}=\dfrac{1-1}0\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x+\text{sen}(x)}{\frac1{1+x}}=\dfrac{1+0}{\frac11}=\boxed{1}


b) Se trata de una integral de tipo potencial (ver la tabla de integrales):

\displaystyle\int\dfrac{(\ln x)^2}x~dx=\int(\ln x)^2\cdot\dfrac1x~dx=\boxed{\dfrac{(\ln x)^3}3+k}

CyL-MII-O-18-4B

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