Problema 967

Tres números x, y, z cumple lo siguiente:

  • El primero de ellos, x, es la suma de los otros dos.
  • El segundo, y, es la mitad del primero más el triple del tercero.

a) Demostrar que hay infinitos números que cumplen estas condiciones, encontrando una expresión general de la solución.
b) Encontrar tres números concretos que cumplan estas condiciones.


Solución:

  • El primero de ellos, x, es la suma de los otros dos.
    x=y+z
  • El segundo, y, es la mitad del primero más el triple del tercero.
    y=\frac12x+3z\rightarrow2y=x+6z

El sistema al que dan lugar estas dos ecuaciones es:

\left\{\begin{array}{l}x-y-z=0\\x-2y+6z=0\end{array}\right.

Es un sistema homogéneo.

a) El sistema en forma matricial es:

\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&-2&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}

El rango de la matriz de coeficientes es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\1&-2\end{vmatrix}=-2+1=-1\neq0. Como el sistema es homogéneo y el número de variables es 3, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones.

Obtenemos las soluciones del sistema parametrizando z=\lambda:

\left\{\begin{array}{l}x-y-z=0\\x-2y+6z=0\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x-y=\lambda\\x-2y=-6\lambda\end{array}\right.

Si a la primera ecuación le restamos la segunda, obtenemos y=7\lambda.
Sustituyendo en la primera ecuación:

x-y=\lambda\rightarrow x=\lambda+7\lambda=8\lambda

Las soluciones son:

\left\{\begin{array}{l}x=8\lambda\\y=7\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

con \lambda\in\mathbb R.


b) Al ser el sistema homogéneo una de las soluciones es la solución trivial:

  • \lambda=0\rightarrow(x,y,z)=(0,0,0)

Dando distintos valores a λ obtendremos distintas soluciones, por ejemplo:

  • \lambda=1\rightarrow(x,y,z)=(8,7,1)
  • \lambda=0.1\rightarrow(x,y,z)=(0.8,0.7,0.1)

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