Problema 968

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II,

Dados el plano \pi\equiv2x+y+z-3=0 y la recta r\equiv\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\x-y+z=2\end{array}\right.

a) Calcular el punto de intersección del plano π y de la recta r.
b) Encontrar la ecuación de la recta s contenida en el plano π y que corta perpendicularmente a r.

Solución:

a) Para calcular donde se corta una recta y un plano, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones implícitas de recta y plano:

\left\{\begin{array}{rl}2x+y+z&=3\\x+y+z&=0\\x-y+z&=2\end{array}\right.

Escribimos el sistema en forma matricial:

\begin{pmatrix}2&1&1\\1&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}

Utilizamos la regla de Cramer para resolver el sistema:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}3&1&1\\0&1&1\\2&-1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&1&1\\1&1&1\\1&-1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{3+2-2+3}{2+1-1-1-1+2}=\dfrac62=3

y=\dfrac{\begin{vmatrix}2&3&1\\1&0&1\\1&2&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&1&1\\1&1&1\\1&-1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{3+2-3-4}2=\dfrac{-2}2=-1

z=\dfrac{\begin{vmatrix}2&1&3\\1&1&0\\1&-1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&1&1\\1&1&1\\1&-1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{4-3-3-2}2=\dfrac{-4}2=-2

El punto de corte de π y r es \boxed{P=(3,-1,-2)}.

b) Para que la recta s esté contenida en el plano π es necesario que el vector director de s sea perpendicular al vector normal del plano:

\vec v_s\perp\vec n_\pi=(2,1,1)

Además, nos piden que la recta s sea perpendicular a r por lo que sus vectores directores han de ser perpendiculares:

\vec v_s\perp\vec v_r

El vector director de r es:

\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&1\\1&-1&1\end{vmatrix}=(1+1)\vec\imath+(1-1)\vec\jmath+(-1-1)\vec k=(2,0,-2)

El vector director de s es:

\vec v_s=\vec n_\pi\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&1&1\\2&0&-2\end{vmatrix}=(-2)\vec\imath+(2+4)\vec\jmath+(-2)\vec k=(-2,6,-2)

Por estar contenido en el plano y cortar a r, la recta s pasa por el punto P calculado en el apartado a). Luego, la recta s en forma vectorial es:

\boxed{s:~(x,y,z)=(3,-1,-2)+\lambda(-2,6,-2)}

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