Problema 969

Sea la función f(x)=\frac1x+ax+b

a) Encontrar a y b para que la función tenga un mínimo relativo en el punto (\frac12,6).
b) Suponiendo que a=4 y b=2, estudia su continuidad y, en el caso de tenerlas, sus asíntotas.


Solución:

a) Sabemos que el punto (\frac12,6) corresponde a un mínimo, luego:

  • f(\frac12)=6
    f(\frac12)=\dfrac1{1/2}+a\cdot\dfrac12+b=6~;\\2+\dfrac a2+b=6~;\\4+a+2b=12~;\\a+2b=8
  • f'(\frac12)=0
    f'(x)=\dfrac{-1}{x^2}+a\\f'(\frac12)=\dfrac{-1}{(1/2)^2}+a=0~;\\-4+a=0

Solo queda resolver el sistema \left\{\begin{array}{l}a+2b=8\\-4+a=0\end{array}\right. cuya solución es a=4, b=2.


b) El dominio de f es \mathbb R\setminus\{0\}. Estudiamos la continuidad en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac1x+4x+2=\dfrac1{0^+}+4\cdot0^++2=+\infty\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac1x+4x+2=\dfrac1{0^-}+4\cdot0^-+2=-\infty\\\\\bullet~f(0)\nexists

f presenta una discontinuidad de salto infinito en x=0.

  • Asíntota vertical \boxed{x=0}.
  • Asíntota horizontal:
    \displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac1x+4x+2=\dfrac1{\infty}+4\cdot\infty+2=\infty
    No tiene asíntota horizontal.
  • Asíntota oblicua (y=mx+n):
    \displaystyle m=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{f(x)}x=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac1{x^2}+4+\dfrac2x=4\\\\n=\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)-mx=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac1x+4x+2-4x=\\\\=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac1x+2=\dfrac1\infty+2=2
    Asíntota oblicua \boxed{y=4x+2}.

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