Problema 970

Sea la función f(x)=\text{sen}(x).

a) Encontrar las rectas tangentes a la gráfica de la función f en los puntos x=0 y x=π. Encontrar el punto en que se cortan ambas rectas tangentes.
b) Hallar el área comprendida entre la gráfica de f y las rectas de ecuaciones y=x e y=-x+\pi.


Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de tangencia x=x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

  • Ecuación de la recta tangente de f en el punto x=0:

f(0)=\text{sen}(0)=0~;\\\\f'(x)=\cos(x)~;\\f'(0)=\cos(0)=1

y=1\cdot(x-0)+0~;\\\\rt:~\boxed{y=x}

  • Ecuación de la recta tangente de f en el punto x=π:

f(\pi)=\text{sen}(\pi)=0~;\\\\f'(\pi)=\cos(\pi)=-1

y=-1\cdot(x-\pi)+0~;\\\\rt:~\boxed{y=-x+\pi}

Calculamos ahora el punto donde se cortan ambas rectas igualando ambas funciones y resolviendo:

x=-x+\pi~;\\\\2x=\pi~;\\\\x=\dfrac\pi2

Sustituyendo el valor en la función y=x tenemos que ambas rectas se cortan en el punto \boxed{\left(\frac\pi2,\frac\pi2\right)}.


b) Aunque no se pide, ayuda hacer un esbozo de las funciones elementales para calcular el área que encierran:

p970

El área sombreada S vale:

\displaystyle S=\int_0^{\pi/2}x~dx+\int_{\pi/2}^\pi-x+\pi~dx-\int_0^\pi\text{sen}(x)~dx

Recordar la tabla de integrales:

S=\left[\dfrac{x^2}2\right]_0^{\pi/2}+\left[\dfrac{-x^2}2+\pi x\right]_{\pi/2}^\pi+\Big[\cos(x)\Big]_0^\pi=\\\\=\left(\dfrac{\pi^2}8-0\right)+\left(-\dfrac{\pi^2}2+\pi^2+\dfrac{\pi^2}8-\dfrac{\pi^2}2\right)+\Big(-1-1\Big)=\\\\=\dfrac{\pi^2}4-2\approx\boxed{0.4674\text{ u.a.}}

CyL-MII-E-18-4A

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