Problema 972

Dadas las matrices: A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&k\end{pmatrix},~B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&2\\1&1&2\end{pmatrix}

a) Discutir, según los valores de k, cuándo A tiene inversa y calcularla para k=2.
b) Para k=2, resolver la siguiente ecuación matricial: AX+B=AB.


Solución:

a) La matriz A tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de 0:

|A|=\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&k\end{vmatrix}=k-1~;\\\\k-1=0~;\\k=1

Luego, A tiene inversa para todo k≠1.

Calculamos la inversa de A utilizando la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

Para k=2:

A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&2\end{pmatrix}

|A|=2-1=1~;\\\\\text{Adj}A=\begin{pmatrix}2&0&-1\\0&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}

A^{-1}=\dfrac11\cdot\begin{pmatrix}2&0&-1\\0&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0&-1\\0&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}


b) Comenzamos despejando la matriz X:

AX+B=AB~;\\\\AX=AB-B=(A-I)B~;\\\\X=A^{-1}(A-I)B

A-I=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&1\end{pmatrix}

(A-I)B=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&2\\1&1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&2\\0&0&0\\2&1&2\end{pmatrix}

X=A^{-1}(A-I)B=\begin{pmatrix}2&0&-1\\0&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&2\\0&0&0\\2&1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s