Problema 973

Dados el plano \pi\equiv ax+y-z+b=0 y la recta r\equiv\frac{x-1}1=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}1.

a) Encontrar a y b para que la recta este contenida en el plano.
b) ¿Existen valores a y b para que la recta sea perpendicular al plano? Razonar la posible respuesta negativa o encontrarlos en su caso.


Solución:

a) El vector normal del plano es \vec n_\pi=(a,1,-1), la recta r pasa por el punto P_r=(1,2,3) y tiene vector director \vec v_r=(1,-1,1).
Para que la recta r esté contenida en el plano debe cumplirse:

  1. El vector normal del plano y el vector director de la recta han de ser perpendiculares, \vec n_\pi\perp\vec v_r.
  2. Cualquier punto de la recta r debe pertenecer al plano, en particular, P_r\in\pi.

Aplicamos la condición de perpendicularidad a \vec n_\pi\text{ y }\vec v_r:

\vec n_\pi\cdot\vec v_r=a-1-1=a-2=0

Imponemos que P_r=(1,2,3) verifique la ecuación del plano \pi\equiv ax+y-z+b=0:

a\cdot1+2-3+b=0~;\\\\a-1+b=0~;\\\\a+b=1

Formamos el sistema:

\left\{\begin{array}{rl}a&=2\\a+b&=1\end{array}\right.

Sistema cuya solución es a=2, b=-1.


b) Si la recta y el plano son perpendiculares entonces el vector director de la recta \vec v_r=(1,-1,1) y el vector normal del plano \vec n_\pi=(a,1,-1) han de ser paralelos.
Imponemos la condición de paralelismo a ambos vectores y resolvemos:

\dfrac1a=\dfrac{-1}1=\dfrac1{-1}

Ecuaciones que se verifican para a=-1 independientemente de b.

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