Problema 974

Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat II,

De todos los rectángulos cuyo perímetro es 40 cm, encontrar el que tiene la diagonal de menor longitud.

Solución:

p654b

Sea un rectángulo de base x y de altura y.
Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos la longitud de la diagonal:

d(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}

Sabemos que el perímetro vale 40 cm.

2x+2y=40

Despejamos y:

2y=40-2x~;\\\\y=20-x

Sustituimos en la fórmula de la diagonal:

d(x)=\sqrt{x^2+(20-x)^2}~;\\\\d(x)=\sqrt{x^2+400-40x+x^2}=\sqrt{2x^2-40x+400}

Calculamos los puntos críticos de d (recordar la tabla de derivadas):

d'(x)=\dfrac{4x-40}{2\sqrt{2x^2-40x+400}}=\dfrac{2x-20}{\sqrt{2x^2-40x+400}}=0~;\\\\2x-20=0~;\\\\x=10

Para caracterizar el punto crítico estudiamos la monotonía de d en el entorno del punto crítico x=10.

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,10)&(10,20)\\\hline\mbox{Signo }d'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }d(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Luego, la diagonal alcanza un mínimo en x=10. También tenemos y=20-10=10.
El rectángulo que minimiza la longitud de la diagonal es un cuadrado de 10 cm de lado.

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