Problema 975

a) Calcular \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{3e^x-\text{sen}(x)}{e^x+x}.

b) Encontrar el área del recinto limitado por las funciones f(x)=|x|-1 y g(x)=1-x^2.


Solución:

a) Recordamos que la indeterminación del tipo ∞/∞ se puede resolver utilizando la regla de L’Hôpital:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{3e^x-\text{sen}(x)}{e^x+x}=\dfrac{+\infty}{+\infty}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{3e^x-\cos(x)}{e^x+1}=\dfrac{+\infty}{+\infty}=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{3e^x+\text{sen}(x)}{e^x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{3e^x}{e^x}+\frac{\text{sen}(x)}{e^x}=\\\\=3+\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\text{sen}(x)}{e^x}=3+0=\boxed3

Recordar que y=\text{sen}(x) es una función que oscila entre los valores -1 y 1 periódicamente por lo que, aunque no exista el límite \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{sen}(x), los valores que toman dicha función están acotados. Lo mismo ocurre con la función y=\cos(x).


b) La función con valor absoluto lo reescribimos como una función a trozos:

f(x)=|x|-1=\left\{\begin{array}{ccc}x-1&\text{si}&x\geq0\\-x-1&\text{si}&x<0\end{array}\right.

Calculamos dónde se cortan f y g:

  • Si x\geq0:
    x-1=1-x^2~;\\x^2+x-2=0
    Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1 y x=-2. Solo tenemos en cuenta x=1.
  • Si x<0:
    -x-1=1-x^2~;\\x^2-x-2=0
    Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=2 y x=-1. Solo tenemos en cuenta la solución x=-1.

Hacemos un esbozo rápido de las dos rectas y la parábola para ayudarnos a comprender el área que nos piden. La función y=-x-1 es una recta decreciente que pasa por los puntos (-1,0) y (0,-1). La función y=x-1 es una recta creciente que pasa por los puntos (0,-1) y (1,0). La función g(x)=1-x^2 es una parábola cóncava que pasa por los puntos (-1,0) y (1,0), y tiene su vértice en el punto (0,1).

p975

El área S encerrada por las funciones f y g es:

\displaystyle S=\int_{-1}^0(1-x^2)-(-x-1)~dx+\int_0^1(1-x^2)-(x-1)~dx=\\\\=\int_{-1}^0-x^2+x+2~dx+\int_0^1-x^2-x+2~dx=\\\\=\left[\dfrac{-x^3}3+\dfrac{x^2}2+2x\right]_{-1}^0+\left[\dfrac{-x^3}3-\dfrac{x^2}2+2x\right]_0^1=\\\\=(0)-\left(\dfrac{-(-1)^3}3+\dfrac{(-1)^2}2+2\cdot(-1)\right)+\left(\dfrac{-1^3}3-\dfrac{1^2}2+2\cdot1\right)-(0)=\\\\=\dfrac{-2}3-\dfrac22+4=3-\dfrac23=\boxed{\dfrac73}\text{ u.a.}

CyL-MII-E-18-4B

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