Problema 977

Sean A=\begin{pmatrix}1&-4\\-1&3\end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}.

a) Estudiar si A y B tiene inversa y calcularla cuando sea posible.
b) Determinar X tal que AX=2B+I siendo I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.


Solución:

a) Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0:

\bullet~|A|=\begin{vmatrix}1&-4\\-1&3\end{vmatrix}=3-4=-1\neq0\\\\\bullet~|B|=\begin{vmatrix}1&-1\\-1&1\end{vmatrix}=1-1=0

Luego la matriz A sí tiene inversa. La matriz B no tiene inversa.
La matriz inversa de A es:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

\text{Adj}A=\begin{pmatrix}3&1\\4&1\end{pmatrix}

Luego:

A^{-1}=\dfrac1{-1}\cdot\begin{pmatrix}3&4\\1&1\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}3&4\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&-4\\-1&-1\end{pmatrix}


b) Despejamos X:

AX=2B+I~;\\\\\boxed{X=A^{-1}(2B+I)}

2B+I=2\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-2\\-2&3\end{pmatrix}

X=A^{-1}(2B+I)=-\begin{pmatrix}3&4\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-2\\-2&3\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}1&6\\1&1\end{pmatrix}\\\\X=\begin{pmatrix}-1&-6\\-1&-1\end{pmatrix}

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