Problema 978

Determinar la recta r que es paralela al plano \pi:~x-y-z=0 y que corta perpendicularmente a la recta s:~\frac{x-1}1=\frac{y+3}2=\frac{z-2}{-4} en el punto P(2,-1,-2).


Solución:

Nos piden que r sea paralela a π lo que es equivalente a que el vector director de r sea perpendicular al vector normal de π:

\boxed{r\parallel\pi}\leftrightarrow\boxed{\vec v_r\perp\vec n_\pi}

Nos piden que r sea perpendicular a s lo que es equivalente a que el vector director de r ha de ser perpendicular al vector director de s:

\boxed{r\perp s}\leftrightarrow\boxed{\vec v_r\perp\vec v_s}

Luego, el vector director de r ha de ser perpendicular a los vectores \vec n_\pi=(1,-1,-1) y \vec v_s=(1,2,-4). Utilizamos el producto vectorial de vectores para calcular \vec v_r:

\vec v_r=\vec n_\pi\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&-1&-1\\1&2&-4\end{vmatrix}=(4+2)\vec\imath+(-1+4)\vec\jmath+(2+1)\vec k\\\\\vec v_r=(6,3,3)

Dado que r pasa por el punto P(2,-1,-2), ya tenemos la ecuación vectorial de la recta r:

r:~(x,y,z)=(2,-1,-2)+\lambda(6,3,3)

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