Problema 980

a) Calcular la recta tangente a la curva f(x)=4e^{x-1} en el punto (1,f(1)).

b) Calcular el área de la región delimitada en el primer cuadrante por la gráfica de la función g(x)=x^3 y la recta y=4x.


Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a un función f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

En nuestro caso x_0=1 y la ecuación de la recta tangente es:

y=f'(1)(x-1)+f(1)

Recordar la tabla de derivadas:

f(x)=4e^{x-1}\rightarrow f(1)=4e^{1-1}=4~;\\\\f'(x)=4e^{x-1}\rightarrow f'(1)=4e^{1-1}=4

Luego, la ecuación de la recta tangente es:

y=4(x-1)+4~;\\\\y=4x-4+4~;\\\\\boxed{y=4x}


b) Primero calculamos los puntos en los que se cortan ambas funciones:

x^3=4x~;\\\\x^3-4x=0~;\\\\x(x^2-4)=0~;\\\\x(x+2)(x-2)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0, x=2, x=-2.
El área encerrada por ambas funciones en el primer cuadrante es:

\displaystyle\left|\int_0^2x^3-4x~dx\right|=\left|\left[\dfrac{x^4}4-2x^2\right]_0^2\right|=\\\\=\left|\left(\dfrac{2^4}4-2\cdot2^2\right)-(0)\right|=\Big|4-8\Big|=4\text{ u.a.}

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