Problema 982

a) Discutir el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro λ:

\left\{\begin{array}{rl}x+\lambda y+\lambda z&=1\\x+y+z&=1\\x+2y+4z&=2\end{array}\right.

b) Resolverlo para λ=1.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}1&\lambda&\lambda\\1&1&1\\1&2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M por determinantes:

\begin{vmatrix}1&\lambda&\lambda\\1&1&1\\1&2&4\end{vmatrix}=4+\lambda+2\lambda-\lambda-4\lambda-2=-2\lambda+2~;\\\\-2\lambda+2=0~;\\\\\lambda=1

Luego:

  • Si λ≠1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si λ=1, entonces M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&2&4\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\neq0
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&2&2\end{vmatrix}=0
    Luego, el rango de la matriz ampliada M* es también 2, y el sistema es compatible indeterminado.

b) Para λ=1 el sistema es:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=1\\x+y+z&=1\\x+2y+4z&=2\end{array}\right.

que es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=1\\x+2y+4z&=2\end{array}\right.

Parametrizamos z=μ:

\left\{\begin{array}{rl}x+y&=1-\mu\\x+2y&=2-4\mu\end{array}\right.

Si a la ecuación segunda le restamos la primera obtenemos:

y=1-3\mu

Sustituyendo en la ecuación x+y=1-\mu:

x+(1-3\mu)=1-\mu~;\\\\x=2\mu

Luego, para λ=1, la solución del sistema es:

\left\{\begin{array}{l}x=2\mu\\y=1-3\mu\\z=\mu\end{array}\right.

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