Problema 983

Dado el plano \pi:~3x+y+z-2=0 y los puntos P(0,1,1), Q(2,-1,-3) que pertenecen al plano π, determinar la recta del plano π que pasa por el punto medio entre P y Q y es perpendicular a la recta que une estos puntos.


Comenzamos calculando el punto medio M entre P y Q:

M=\dfrac{P+Q}2=\dfrac{(0,1,1)+(2,-1,-3)}2=\dfrac{(2,0,-2)}2~;\\\\M=(1,0,-1)

Por otro lado, la recta que une los puntos P y Q está dentro del plano π ya que los puntos mencionados están dentro del plano.
Hay infinita rectas perpendiculares a otra recta, pero dado que la recta que une a P y Q está dentro del plano, podríamos coger como dirección perpendicular a la recta el vector normal del plano. Este vector es perpendicular no solo al propio plano sino también a la recta que une a P y Q:

\vec n_\pi=(3,1,1)

Tenemos así la recta que nos piden en forma vectorial:

(x,y,z)=(1,0,-1)+\lambda(3,1,1)

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