Problema 984

a) Dado el polinomio P(x)=\frac{x^3}3-\frac{3x^2}2+2x+C, hallar C para que el valor de P(x) en su mínimo relativo sea 1.

b) Calcular \displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}x\ln x.


Solución:

a) El mínimo relativo de una función es un punto crítico (su derivada vale 0):

P'(x)=x^2-3x+2~;\\\\x^2-3x+2=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1 y x=2.
Utilizamos el test de la derivada segunda para saber cuál de los dos puntos críticos corresponde a un mínimo:

P''(x)=2x-3\\\\\bullet~P''(1)=2\cdot1-3=-1<0\\\bullet~P''(2)=2\cdot2-3=1>0

Luego, según el test, en x=2 la función P tiene un mínimo relativo.

Nos piden hallar C para que en x=2 la función valga 1:

P(2)=\dfrac{2^3}3-\dfrac{3\cdot2^2}2+2\cdot2+C=1~;\\\\\dfrac83-6+4+C=1~;\\\\C=1+2-\dfrac83~;\\\\\boxed{C=\dfrac13}


b) Las indeterminaciones del tipo 0·∞ se transforman moviendo uno de los factores al denominador:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}x\ln x=0\cdot(-\infty)=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\ln x}{\frac1x}=\dfrac{-\infty}{\frac1{0^+}}=\dfrac{\infty}{\infty}

Las indeterminaciones del tipo \frac\infty\infty se resuelve utilizando la regla de L’Hôpital (recordar la tabla de derivadas):

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\ln x}{\frac1x}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\frac1x}{\frac{-1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow0^+}-x=0

CyL-MII-O-17-3B

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