Problema 985

Sea f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}(x-1)^2&\text{si}&x\leq1\\a+\ln x&\text{si}&x>1\end{array}\right.

a) Encontrar a para que la función sea continua.
b) Hallar el área de la región delimitada por la gráfica de f y las rectas x=1, y=1.


Solución:

a) Estudiamos la continuidad en x=1:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow1^+}a+\ln x=a+\ln 1=a\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^-}(x-1)^2=(1-1)^2=0\\\\\bullet~f(1)=(1-1)^2=0

Para que f sea continua en x=1, ha de ser a=0. Siendo así, la función f es continua en todo \mathbb R.


b) Recordamos que la función y=x^2 gráficamente es una parábola convexa cuyo vértice es el punto (0,0) y que pasa por los puntos (1,1) y (-1,1). La función y=(x-1)^2 es la misma parábola pero traslada horizontalmente 1 unidad hacia la derecha, teniendo su vértice en (1,0) y que pasa por (0,1).

Si a=0, la función y=\ln x sabemos que es una función estrictamente creciente cóncava que pasa por el punto (1,0) y que tiende a -∞ cuando x tiende a 0⁺.
La recta y=1 es una recta horizontal que pasa por el punto (0,1), y la recta x=1 es una recta vertical que pasa por el punto (1,0).

Con todos estos datos podemos hacer un esbozo que ayude a calcular el área buscada:

p985

Si x≤1, la función f corta a la recta y=1 en:

(x-1)^2=1~;\\x^2-2x+1=1~;\\x^2-2x=0~;\\x(x-2)=0

cuya solución es x=0. La solución x=2 se descarta.
Si x>1, la función f corta a la recta y=1 en:

\ln x=1~;\\e^{\ln x}=e^1~;\\x=e

Calculamos el área encerrada por f y las rectas x=1 e y=1 por separado:

\displaystyle S1=\int_0^11-(x-1)^2~dx=\int_0^11-(x^2-2x+1)~dx=\\\\=\int_0^1-x^2+2x~dx=\left[\dfrac{-x^3}3+x^2\right]_0^1=\left(\dfrac{-1}3+1\right)-(0)=\\\\=\dfrac23\approx\boxed{0.66\text{ u.a.}}

\displaystyle S2=\int_1^e1-\ln x~dx=\int_1^e1~dx-\int_1^e\ln x~dx=\Big[x-(x\ln x-x)\Big]_1^e=\\\\=\Big[2x-x\ln x\Big]_1^e=\Big(2e-e\ln e\Big)-\Big(2-\ln 1\Big)=\\\\=e-2\approx\boxed{0.7183\text{ u.a.}}

Hemos utilizado la tabla de integrales y el método de integración por partes.

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