Sea
a) Encontrar a para que la función sea continua.
b) Hallar el área de la región delimitada por la gráfica de f y las rectas x=1, y=1.
Solución:
a) Estudiamos la continuidad en x=1:
Para que f sea continua en x=1, ha de ser a=0. Siendo así, la función f es continua en todo 
b) Recordamos que la función 
Si a=0, la función 
La recta y=1 es una recta horizontal que pasa por el punto (0,1), y la recta x=1 es una recta vertical que pasa por el punto (1,0).
Con todos estos datos podemos hacer un esbozo que ayude a calcular el área buscada:
Si x≤1, la función f corta a la recta y=1 en:
cuya solución es x=0. La solución x=2 se descarta.
Si x>1, la función f corta a la recta y=1 en:
Calculamos el área encerrada por f y las rectas x=1 e y=1 por separado:
![\displaystyle S1=\int_0^11-(x-1)^2~dx=\int_0^11-(x^2-2x+1)~dx=\\\\=\int_0^1-x^2+2x~dx=\left[\dfrac{-x^3}3+x^2\right]_0^1=\left(\dfrac{-1}3+1\right)-(0)=\\\\=\dfrac23\approx\boxed{0.66\text{ u.a.}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S1%3D%5Cint_0%5E11-%28x-1%29%5E2%7Edx%3D%5Cint_0%5E11-%28x%5E2-2x%2B1%29%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cint_0%5E1-x%5E2%2B2x%7Edx%3D%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B-x%5E3%7D3%2Bx%5E2%5Cright%5D_0%5E1%3D%5Cleft%28%5Cdfrac%7B-1%7D3%2B1%5Cright%29-%280%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cdfrac23%5Capprox%5Cboxed%7B0.66%5Ctext%7B+u.a.%7D%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\displaystyle S1=\int_0^11-(x-1)^2~dx=\int_0^11-(x^2-2x+1)~dx=\\\\=\int_0^1-x^2+2x~dx=\left[\dfrac{-x^3}3+x^2\right]_0^1=\left(\dfrac{-1}3+1\right)-(0)=\\\\=\dfrac23\approx\boxed{0.66\text{ u.a.}}")
![\displaystyle S2=\int_1^e1-\ln x~dx=\int_1^e1~dx-\int_1^e\ln x~dx=\Big[x-(x\ln x-x)\Big]_1^e=\\\\=\Big[2x-x\ln x\Big]_1^e=\Big(2e-e\ln e\Big)-\Big(2-\ln 1\Big)=\\\\=e-2\approx\boxed{0.7183\text{ u.a.}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S2%3D%5Cint_1%5Ee1-%5Cln+x%7Edx%3D%5Cint_1%5Ee1%7Edx-%5Cint_1%5Ee%5Cln+x%7Edx%3D%5CBig%5Bx-%28x%5Cln+x-x%29%5CBig%5D_1%5Ee%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5CBig%5B2x-x%5Cln+x%5CBig%5D_1%5Ee%3D%5CBig%282e-e%5Cln+e%5CBig%29-%5CBig%282-%5Cln+1%5CBig%29%3D%5C%5C%5C%5C%3De-2%5Capprox%5Cboxed%7B0.7183%5Ctext%7B+u.a.%7D%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\displaystyle S2=\int_1^e1-\ln x~dx=\int_1^e1~dx-\int_1^e\ln x~dx=\Big[x-(x\ln x-x)\Big]_1^e=\\\\=\Big[2x-x\ln x\Big]_1^e=\Big(2e-e\ln e\Big)-\Big(2-\ln 1\Big)=\\\\=e-2\approx\boxed{0.7183\text{ u.a.}}")
Hemos utilizado la tabla de integrales y el método de integración por partes.
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