Sea
a) Encontrar a para que la función sea continua.
b) Hallar el área de la región delimitada por la gráfica de f y las rectas x=1, y=1.
Solución:
a) Estudiamos la continuidad en x=1:
Para que f sea continua en x=1, ha de ser a=0. Siendo así, la función f es continua en todo .
b) Recordamos que la función gráficamente es una parábola convexa cuyo vértice es el punto (0,0) y que pasa por los puntos (1,1) y (-1,1). La función
es la misma parábola pero traslada horizontalmente 1 unidad hacia la derecha, teniendo su vértice en (1,0) y que pasa por (0,1).
Si a=0, la función sabemos que es una función estrictamente creciente cóncava que pasa por el punto (1,0) y que tiende a -∞ cuando x tiende a 0⁺.
La recta y=1 es una recta horizontal que pasa por el punto (0,1), y la recta x=1 es una recta vertical que pasa por el punto (1,0).
Con todos estos datos podemos hacer un esbozo que ayude a calcular el área buscada:
Si x≤1, la función f corta a la recta y=1 en:
cuya solución es x=0. La solución x=2 se descarta.
Si x>1, la función f corta a la recta y=1 en:
Calculamos el área encerrada por f y las rectas x=1 e y=1 por separado:
Hemos utilizado la tabla de integrales y el método de integración por partes.
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