Problema 987

a) Sea M=\begin{pmatrix}1&2\\3&a\end{pmatrix}. Estudiar, en función del parámetro a, cuando M posee inversa.

b) Siendo A=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}, calcular A² y A⁻¹.


Solución:

a) Una matriz posee inversa cuando su determinantes es distinto de 0:

|M|=\begin{vmatrix}1&2\\3&a\end{vmatrix}=a-6~;\\\\a-6=0~;\\\\a=6

Luego, M posee inversa para todo a real distinto de 6.


b) Para calcular la matriz inversa de A utilizamos la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

\bullet~|A|=7-6=1\\\\\bullet~\text{Adj}A=\begin{pmatrix}7&-3\\-2&1\end{pmatrix}\\\\\bullet~A^{-1}=\dfrac11\cdot\begin{pmatrix}7&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}7&-2\\-3&1\end{pmatrix}}

Nos piden también:

A^2=AA=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}7&16\\24&55\end{pmatrix}}

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