Problema 988

a) Consideremos los puntos P(-1,-4,0), Q(0,1,3), R(1,0,3). Hallar el plano π que contiene a los puntos P, Q y R.

b) Calcular a para que el punto S(3,a,2), pertenezca al plano \pi\equiv x+y-2z+5=0.


Solución:

a) El plano π que nos piden está formado por el punto P(-1,-4,0) y por los vectores directores:

\bullet~\overrightarrow{PQ}=(0,1,3)-(-1,-4,0)=(1,5,3)\\\bullet~\overrightarrow{PR}=(1,0,3)-(-1,-4,0)=(2,4,3)

Con el punto y los dos vectores directores, calculamos la ecuación general del plano:

\begin{vmatrix}x+1&y+4&z\\1&5&3\\2&4&3\end{vmatrix}=15(x+1)+6(y+4)+4z-10z-3(y+4)-12(x+1)=\\=3(x+1)+3(y+4)-6z=3x+3y-6z+15=0

Simplificamos la ecuación y obtenemos la ecuación del plano:

\boxed{\pi:~x+y-2z+5=0}


b) Si el punto S(3,a,2) pertenece al plano \pi:~x+y-2z+5=0 entonces las coordenadas de S verifican la ecuación del plano:

3+a-2\cdot2+5=0~;\\a+4=0~;\\\\\boxed{a=-4}

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