Problema 989

a) Dada la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x&\text{si}&x<0\\x^2+ax&\text{si}&x\geq0\end{array}\right., calcular a para que f sea derivable en x=0.

b) Hallar a, b y c para que la función f(x)=ax^2+b\,\text{sen}(x)+c verifique f(0)=0,~f'(0)=1\text{ y }f''(0)=2.


Solución:

a) Para que f sea derivable en x=0, primero ha de ser continua en x=0. Estudiamos la continuidad de f en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}x^2+ax=0\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}x=0\\\bullet~f(0)=0^2+a\cdot0=0

Luego, f es continua en x=0.
Para estudiar la derivabilidad de f, primero calculamos la derivada de f:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}1&\text{si}&x<0\\2x+a&\text{si}&x>0\end{array}\right.

\displaystyle\bullet~f'(0^+)=\lim_{x\rightarrow0^+}2x+a=a\\\bullet~f'(0^-)=\lim_{x\rightarrow0^-}1=1

Luego, para que f sea derivable en x=0, ha de ser a=1.


b) Necesitaremos hasta la segunda derivada de f:

\bullet~f(x)=ax^2+b\,\text{sen}(x)+c\\\bullet~f'(x)=2ax+b\cos(x)\\\bullet~f''(x)=2a-b\,\text{sen}(x)

Utilizamos los datos aportados en el enunciado:

\bullet~f(0)=0\qquad\rightarrow\qquad f(0)=a\cdot0^2+b\,\text{sen}(0)+c=c\\\bullet~f'(0)=1\qquad\rightarrow\qquad f'(0)=2a\cdot0+b\cos(0)=b\\\bullet~f''(0)=2\qquad\rightarrow\qquad f''(0)=2a-b\,\text{sen}(0)=2a

Igualando:

\left\{\begin{array}{l}c=0\\b=1\\2a=2\end{array}\right.

Sistema cuya solución es a=1, b=1, c=0.

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