Problema 990

a) Calcular \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x-e^{(x^2)}}x.

b) Hallar el área de la región del plano comprendida entre las gráficas de las funciones f(x)=-x^2,~g(x)=x^2-2.


Solución:

a) Para resolver indeterminaciones del tipo 0/0 usamos la regla de L’Hôpital (recordar la tabla de derivadas):

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x-e^{(x^2)}}x=\dfrac{e^0-e^{0^2}}0=\dfrac{1-1}0=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x-e^{x^2}\cdot2x}1=\dfrac{1-1\cdot2\cdot0}1=\dfrac11=\boxed{1}


b) Recordamos que la función y=x^2 es gráficamente una parábola convexa que tiene su vértice en (0,0) y que pasa por los puntos (1,1) y (-1,1).
La función f(x)=-x^2 es simétrica de y=x^2 con respecto al eje x.
La función g(x)=x^2-2 es igual que la función y=x^2 trasladada verticalmente 2 unidades hacia abajo.

p990

Nos piden el área comprendida entre f y g (región sombreada). Primero calculamos las abscisas donde se cortan, igualando ambas funciones y resolviendo:

-x^2=x^2-2~;\\\\2x^2-2=0~;\\\\2(x^2-1)=0~;\\\\x^2-1=0~;\\\\x=\pm1

Calculamos el área sombreada integrando (recordar la tabla de integrales):

\displaystyle\int_{-1}^1f(x)-g(x)~dx=\int_{-1}^1-x^2-(x^2-2)~dx=\\\\=\int_{-1}^1-2x^2+2~dx=\left[\dfrac{-2x^3}3+2x\right]_{-1}^1=\\\\=\left(\dfrac{-2\cdot1^3}3+2\cdot1\right)-\left(\dfrac{-2\cdot(-1)^3}3+2\cdot(-1)\right)=\\\\=\dfrac{-2}3+2-\dfrac23+2=4-\dfrac43=\boxed{\dfrac83\text{ u.a.}}

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