Problema 992

a) Discutir según los valores del parámetro m el sistema de ecuaciones lineales \left\{\begin{array}{rl}mx+y+z&=1\\x+y+2z&=1\end{array}\right.

b) Resolverlo para m=1.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial:

\begin{pmatrix}m&1&1\\1&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=2-1=1\neq0

Luego, el rango de la matriz de coeficientes es 2 para todo valor de m.
La matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}m&1&1&1\\1&1&2&1\end{pmatrix} también tiene rango 2 para todo valor de m, y puesto que el número de variables es n=3, por el teorema de R-F, el sistema es compatible indeterminado para todo m real.


b) Nos piden resolver el sistema para m=1:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=1\\x+y+2z&=1\end{array}\right.

Hacemos la parametrización x=\lambda:

\left\{\begin{array}{rl}y+z&=1-\lambda\\y+2z&=1-\lambda\end{array}\right.

Si a la ecuación segunda le restamos la primera, queda:

z=0

Sustituyendo el resultado z=0 en la ecuación y+z=1-\lambda, resulta:

y+0=1-\lambda~;\\\\y=1-\lambda

Luego, la solución del sistema es:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=1-\lambda\\z=0\end{array}\right.

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