Problema 993

a) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,3,4) y es perpendicular al plano \pi\equiv~x+y+2z+4=0.

b) Calcular a para que las rectas r\equiv~x-1=y-2=\frac{z-2}2 y s\equiv~\frac{x-1}a=\frac{y-2}2=\frac{z-2}3 sean perpendiculares.


Solución:

a) Nos piden la recta r perpendicular al plano π. Por ser perpendicular al plano, el vector director de la recta \vec v_r es paralelo al vector normal del plano \vec n_\pi:

\boxed{r\perp\pi\quad\leftrightarrow\quad\vec v_r\parallel\vec n_\pi}

Luego, dado que \pi\equiv~x+y+2z+4=0:

\vec v_r=\vec n_\pi=(1,1,2)

Y sabiendo que la recta r pasa por el punto P(2,3,4), ya tenemos la ecuación de dicha recta en forma vectorial:

\boxed{r:~(x,y,z)=(2,3,4)+\lambda(1,1,2)}


b) Dos rectas r y s son perpendiculares si lo son sus vectores directores:

\boxed{r\perp s\quad\leftrightarrow\quad\vec v_r\perp\vec v_s}

Dado que:

\bullet~r\equiv~x-1=y-2=\frac{z-2}2\qquad\rightarrow\qquad\vec v_r=(1,1,2)\\\bullet~s\equiv~\frac{x-1}a=\frac{y-2}2=\frac{z-2}3\qquad\rightarrow\qquad\vec v_s=(a,2,3)

Aplicamos la condición de perpendicularidad a ambos vectores:

\vec v_r\cdot\vec v_s=a+2+6=0~;\\\\\boxed{a=-8}

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