Problema 994

Consideremos la función f(x)=\frac{x^2+1}{x^2+2}. Calcular el dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos. Esbozar su gráfica.


Solución:

En una función racional como f se excluye del dominio aquellos valores que anulan el denominador:

x^2+2=0~;\\\\x^2=-2~;\\\\x=\pm\sqrt{-2}~!!!

Luego, \text{Dom}~f=\mathbb R.

  • Asíntota vertical: dado que el dominio es todo \mathbb R, no tiene asíntota vertical.
  • Asíntota horizontal:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2+1}{x^2+2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\frac{x^2}{x^2}+\frac1{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac2{x^2}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1+\frac1{x^2}}{1+\frac2{x^2}}=\dfrac{1+0}{1+0}=1

Tiene una asíntota horizontal de ecuación y=1.

Estudiamos la monotonía de f. Comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2+2}\\\\f'(x)=\dfrac{2x(x^2+2)-(x^2+1)2x}{(x^2+2)^2}=\dfrac{2x}{(x^2+2)^2}~;\\\\\dfrac{2x}{(x^2+2)^2}=0~;\\\\2x=0\qquad\rightarrow\qquad x=0

Teniendo en cuenta el dominio y el único punto crítico x=0, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f decrece en (-∞,0)
  • f crece en (0,+∞)
  • f presenta un mínimo absoluto en (0,f(0))=(0,\frac12).

Con estos datos obtenidos podemos hacer un esbozo de f semejante a la siguiente gráfica:

p994

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