Problema 995

a) Calcular \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{xe^x-\text{sen}(x)}{x^2}.

b) Calcular \int\ln(x)~dx.


Solución:

a) Recordamos que la indeterminación del tipo 0/0 se resuelve utilizando la regla de L’Hôpital:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{xe^x-\text{sen}(x)}{x^2}=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x+xe^x-\cos(x)}{2x}=\dfrac{1+0-1}0=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x+e^x+xe^x+\text{sen}(x)}2=\dfrac{1+1+0+0}2=\boxed{1}


b) Para calcular esta integral utilizamos el método de integración por partes:

\boxed{\int u~dv=u\cdot v-\int v~du}

\begin{array}{ll}u=\ln x&\rightarrow du=\dfrac1x~dx\\dv=dx&\rightarrow v=x\end{array}

Luego:

\displaystyle\int\ln x~dx=x\ln x-\int x\cdot\dfrac1x~dx=x\ln x-\int dx=\boxed{x\ln x-x+k}

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