Problema 997

Se considera el sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro a:

\left\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\2x+3y-4z=0\\3x+ay+2z=2\end{array}\right.

a) Clasifica el sistema según sus soluciones para los diferentes valores de a.
b) Resuelve el sistema para a = -1.


Solución:

a) Para clasificar el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&-4\\3&a&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&-4\\3&a&2\end{vmatrix}=6-12+2a-9-4+4a=6a-19

Determinante que se anula para a=\frac{19}6, luego:

  • Si a\neq\frac{19}6, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=\frac{19}6, entonces rg(M)=2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\2&-4\end{vmatrix}=-4-2=-6\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&1&2\\2&-4&0\\3&2&2\end{vmatrix}=-8+8+24-4=20\neq0
    Luego, rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.

b) Para a=-1, el sistema en forma matricial es:

\begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&-4\\3&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}2&1&1\\0&3&-4\\2&-1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&-4\\3&-1&2\end{vmatrix}}=\dfrac{12-8-6-8}{-25}=\dfrac{-10}{-25}=\dfrac25

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&2&1\\2&0&-4\\3&2&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&-4\\3&-1&2\end{vmatrix}}=\dfrac{-24+4-8+8}{-25}=\dfrac{-20}{-25}=\dfrac45

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&2\\2&3&0\\3&-1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&-4\\3&-1&2\end{vmatrix}}=\dfrac{6-4-18-4}{-25}=\dfrac{-20}{-25}=\dfrac45

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