Problema 998

Un estudio basado en los datos censales sobre la evolución de la población en una ciudad española revela que, en el período 2005-2015, el número de habitantes (en miles) sigue la función

p(t)=(t-2)^2(1-2t)+252t+116

donde t indica el tiempo medido en años, siendo t=0 el tiempo correspondiente al año 2005. Tomando p(t), determina los periodos de crecimiento y decrecimiento del número de habitantes de dicha ciudad. ¿En qué momento del tiempo el número de habitantes es máximo? ¿Qué número de habitantes tiene la ciudad en ese momento?


Solución:

Nos piden estudiar la monotonía de la función p. Comenzamos calculando sus puntos críticos:

p'(t)=2(t-2)(1-2t)+(t-2)^2(-2)+252~;\\\\p'(t)=2(t-2t^2-2+4t)+(t^2-4t+4)(-2)+252~;\\\\p'(t)=-4t^2+10t-4-2t^2+8t-8+252~;\\\\p'(t)=-6t^2+18t+240~;\\\\p'(t)=-6(t^2-3t-40)=0~;\\\\t^2-3t-40=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son t=8 y t=-5. Descartamos la solución negativa.
Dado que el dominio de esta función polinómica es [0,9], del año 2005 al 2015, y con el punto crítico obtenido antes, estudiamos la monotonía de p en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline t&(0,8)&(8,9)\\\hline\mbox{Signo }p'(t)&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }p(t)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • La población crece en el intervalo (0,8)
  • La población decrece a partir del año 8.
  • En el octavo año se obtiene el máximo en la población.
  • El número de habitantes el octavo año es: p(8)=1592  en miles de habitantes.

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