Problema 1001

Una familia de 3 miembros recibe la devolución de los impuestos abonados en la campaña RENTA 2017 por un importe total de 3250 €. Sabiendo que la madre recibe el doble que el hijo y que el padre recibe 2/3 de lo que recibe la madre, calcula el importe de la devolución que recibe cada miembro de la familia.


Solución:

Sea x el dinero que recibe la madre, y el dinero que recibe el hijo y z el dinero que recibe el padre.
En total reciben 3250€:

x+y+z=3250

La madre recibe el doble que el hijo:

x=2y

El padre recibe 2/3 de lo que recibe la madre:

z=\frac23x\qquad\rightarrow\qquad3z=2x

Con todas estas ecuaciones formamos un sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=3250\\x-2y&=0\\2x-3z&=0\end{array}\right.

Utilizamos el método de Gauss-Jordan para resolver el sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=3250\\x-2y&=0\\2x-3z&=0\end{array}\right.\rightarrow\left[\begin{array}{c}F_2-F_1\rightarrow F_2\\F_3-2F_1\rightarrow F_3\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=3250\\-3y-z&=-3250\\-2y-5z&=-6500\end{array}\right.\rightarrow\Big[F_3-5F_2\rightarrow F_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=3250\\-3y-z&=-3250\\13y&=9750\end{array}\right.

De la última ecuación obtenemos:

y=\dfrac{9750}{13}=750

Sustituyendo en la segunda:

z=-3y+3250=-3\cdot750+3250=1000

Y sustituyendo en la primera ecuación:

x=3250-y-z=3250-750-1000=1500

Es decir, la madre recibe 1500€, el hijo 750€ y el padre 1000€.

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