Problema 1002

La producción de petróleo (millones de barriles) de un pozo petrolífero a lo largo del tiempo x (años) se mide según la siguiente función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}17x&\text{si}&0\leq x<5\\-3x^2+30x+10&\text{si}&5\leq x<10\\10&\text{si}&x\geq10\end{array}\right.

a) Estudia la continuidad de la función f. ¿Cuántos barriles de petróleo produce dicho pozo cuando x=8?
b) Calcula el área limitada por la función f y el eje OX en el intervalo [2,3].


Solución:

a) Continuidad en x=5:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow5^+}-3x^2+30x+10=85\\\bullet~\lim_{x\rightarrow5^-}17x=85\\\bullet~f(5)=-3\cdot5^2+30\cdot5+10=85

Luego, f es continua en x=5.
Continuidad en x=10:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow10^+}10=10\\\bullet~\lim_{x\rightarrow10^-}-3x^2+30x+10=10\\\bullet~f(10)=10

Luego, f es continua en x=10. La función es continua en el intervalo [0,10].
Nos piden calcular la producción de petroleo para x=8:

f(8)=-3\cdot8^2+30\cdot8+10=58

Es decir, para x=8 se producen 58 millones de barriles de petroleo.


b) Sabemos que la función y=17x es una función lineal creciente y positiva para x>0. El área S pedida es:

\displaystyle S=\int_2^317x~dx=\left[\dfrac{17x^2}2\right]_2^3=\dfrac{17}2\Big[x^2\Big]_2^3\\\\=\dfrac{17}2\Big(3^2-2^2\Big)=\boxed{\dfrac{85}2\text{ u.a.}}

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