Problema 1005

Se considera el sistema de ecuaciones lineales \left\{\begin{array}{rl}x-y+az&=0\\x-z&=0\\2x+ay-2z&=0\end{array}\right.

a) Estudie la existencia y número de soluciones según los valores del parámetro real a.
b) Resuélvalo, si es posible, para el valor del parámetro a=-1.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}1&-1&a\\1&0&-1\\2&a&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}

Observamos que se trata de un sistema homogéneo, luego rg(M)=rg(M*) para todo a.
Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}1&-1&a\\1&0&-1\\2&a&-2\end{vmatrix}=2+a^2-2+a=a^2+a=a(a+1)

Determinante que se anula para a=0 y a=-1, luego:

  • Si a≠0 y a≠-1 entonces rg(M)=3=n y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=0, tenemos M=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&0&-1\\2&0&-2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\1&0\end{vmatrix}=1\neq0. Luego, según el teorema de R-F, el sistema es compatible indeterminado.
  • Si a=-1, tenemos M=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&0&-1\\2&-1&-2\end{pmatrix} cuyo rango también es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\1&0\end{vmatrix}=1\neq0.
    En este caso, el sistema también es compatible indeterminado.

En los sistemas compatibles determinado la solución es única; en los sistemas compatibles indeterminados hay infinitas soluciones.


b) En el caso a=-1 el sistema es:

\left\{\begin{array}{rl}x-y-z&=0\\x-z&=0\\2x-y-2z&=0\end{array}\right.

Este sistema es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}x-y-z&=0\\x-z&=0\end{array}\right.

Para resolverlo parametrizamos z=\lambda:

\left\{\begin{array}{rl}x-y&=\lambda\\x&=\lambda\end{array}\right.

De la segunda ecuación obtenemos x=\lambda, y sustituyendo en la primera ecuación:

\lambda-y=\lambda~;\\\\y=0

Luego, para a=-1 la solución del sistema es:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=0\\z=\lambda\end{array}\right.

con \lambda\in\mathbb R.

CyL-MII-O-20-1A

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