Problema 1006

Sea la matriz A=\begin{pmatrix}a+1&1\\a-3&a-3\end{pmatrix}.

a) Indique para qué valores de a existe la matriz inversa A^{-1}.
b) Si a=4, B=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}, encuentre la matriz X que verifica que B+XA=C.


Solución:

a) Una matriz cuadrada tiene inversa si su determinante es distinto de 0.

|A|=\begin{vmatrix}a+1&1\\a-3&a-3\end{vmatrix}=(a+1)(a-3)-(a-3)=\\\\=(a-3)(a+1-1)=(a-3)a

Determinante que se anula para a=3 y a=0, luego, existe la matriz inversa de A para todo a\in\mathbb R excepto a=3 y a=0.


b) Despejamos X de la ecuación matricial:

B+XA=C~;\\\\XA=C-B~;\\\\X=(C-B)A^{-1}

Calculamos la matriz inversa de A con la fórmula:

A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t

con a=4, tenemos A=\begin{pmatrix}5&1\\1&1\end{pmatrix}

|A|=(4-3)\cdot4=4\\\\\text{Adj}A=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&5\end{pmatrix}

Luego:

A^{-1}=\dfrac14\cdot\begin{pmatrix}1&-1\\-1&5\end{pmatrix}

Dado que:

C-B=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&1\end{pmatrix}

Y la matriz X es:

X=(C-B)A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&1\end{pmatrix}\cdot\dfrac14\cdot\begin{pmatrix}1&-1\\-1&5\end{pmatrix}=\dfrac14\cdot\begin{pmatrix}-2&6\\-2&6\end{pmatrix}\\\\\boxed{X=\begin{pmatrix}-1/2&3/2\\-1/2&3/2\end{pmatrix}}

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