Problema 1007

Sea el plano \pi\equiv x-2y+2z+1=0, la recta r\equiv\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\z+1=0\end{array}\right. y el punto A=(1,3,-1).
Hallar la ecuación del plano que pasa por A, es paralelo a r y perpendicular a π.


Solución:

Para construir el plano α que nos piden necesitamos un punto y dos vectores directores \vec v_1\text{ y }\vec v_2.
El punto ya lo tenemos: A=(1,3,-1).
Por ser α paralelo a r, uno de los dos vectores directores de α será el vector director de r:

\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&-1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=-\vec\imath-\vec\jmath=(-1,-1,0)

Tomamos \vec v_1=(-1,-1,0).

Dado que α ha de ser perpendicular a π, un vector director de α ha de ser paralelo al vector normal de π:

\vec n_{\pi}=(1,-2,2)=\vec v_2

Tenemos así la forma vectorial del plano α:

\alpha:~(x,y,z)=(1,3,-1)+\lambda(-1,-1,0)+\mu(1,-2,2)

Y la ecuación implícita de α:

\begin{vmatrix}x-1&y-3&z+1\\-1&-1&0\\1&-2&2\end{vmatrix}=(x-1)(-2)+(y-3)\cdot2+(z+1)(2+1)=\\\\=-2x+2+2y-6+3z+3=0~;\\\\\boxed{\alpha:~-2x+2y+3z-1=0}

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