Problema 1008

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II, Vectores II, ,

Dados el punto A(1,2,4) y la recta r\equiv\frac{x-1}2=\frac{y-1}1=\frac{z-1}2,

a) Hallar un punto B de la recta r de forma que el vector \overrightarrow{AB} sea paralelo al plano \pi\equiv~x+2z=0.
b) Hallar un vector (a,b,c) perpendicular a (1,0,-1) y (2,1,0).

Solución:

a) Que el vector \overrightarrow{AB} sea paralelo al plano π es equivalente a que el vector \overrightarrow{AB} es perpendicular al vector normal de π:

\boxed{\overrightarrow{AB}\parallel\pi\qquad\leftrightarrow\qquad\overrightarrow{AB}\perp\vec n_{\pi}}

Escribimos la recta r en forma paramétrica:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda\\y=1+\lambda\\z=1+2\lambda\end{array}\right.

Un punto B perteneciente a r tiene las siguientes coordenadas:

B=(1+2\lambda,1+\lambda,1+2\lambda)\qquad(1)

El vector \overrightarrow{AB} es:

\overrightarrow{AB}=(1+2\lambda,1+\lambda,1+2\lambda)-(1,2,4)=(2\lambda,-1+\lambda,-3+2\lambda)

El vector normal del plano \pi\equiv~x+2z=0 es \vec n_{\pi}=(1,0,2).
Aplicamos la condición de perpendicularidad a estos dos últimos vectores:

\overrightarrow{AB}\cdot\vec n_{\pi}=0~;\\\\2\lambda\cdot1+(-1+\lambda)\cdot0+(-3+2\lambda)\cdot2=0~;\\\\2\lambda-6+4\lambda=0~;\\\\6\lambda-6=0~;\\\\\lambda=1

Sustituyendo λ=1 en (1) obtenemos las coordenadas de B:

B=(3,2,3)

b) Multiplicamos vectorialmente los vectores (1,0,-1) y (2,1,0) para obtener un vector perpendicular a ambos:

\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&0&-1\\2&1&0\end{vmatrix}=-2\vec\jmath+\vec k+\vec\imath=(1,-2,1)=(a,b,c)

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