Problema 1008

Dados el punto A(1,2,4) y la recta $r\equiv\frac{x-1}2=\frac{y-1}1=\frac{z-1}2$ ,

a) Hallar un punto B de la recta r de forma que el vector $\overrightarrow{AB}$ sea paralelo al plano $\pi\equiv~x+2z=0$ .
b) Hallar un vector $(a,b,c)$ perpendicular a (1,0,-1) y (2,1,0).

Solución:

a) Que el vector $\overrightarrow{AB}$ sea paralelo al plano π es equivalente a que el vector $\overrightarrow{AB}$ es perpendicular al vector normal de π:

$\boxed{\overrightarrow{AB}\parallel\pi\qquad\leftrightarrow\qquad\overrightarrow{AB}\perp\vec n_{\pi}}$

Escribimos la recta r en forma paramétrica:

$r:~\left\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda\\y=1+\lambda\\z=1+2\lambda\end{array}\right.$

Un punto B perteneciente a r tiene las siguientes coordenadas:

$B=(1+2\lambda,1+\lambda,1+2\lambda)\qquad(1)$

El vector $\overrightarrow{AB}$ es:

$\overrightarrow{AB}=(1+2\lambda,1+\lambda,1+2\lambda)-(1,2,4)=(2\lambda,-1+\lambda,-3+2\lambda)$

El vector normal del plano $\pi\equiv~x+2z=0$ es $\vec n_{\pi}=(1,0,2)$ .
Aplicamos la condición de perpendicularidad a estos dos últimos vectores:

$\overrightarrow{AB}\cdot\vec n_{\pi}=0~;\\\\2\lambda\cdot1+(-1+\lambda)\cdot0+(-3+2\lambda)\cdot2=0~;\\\\2\lambda-6+4\lambda=0~;\\\\6\lambda-6=0~;\\\\\lambda=1$