Problema 1009

Representar gráficamente la función f(x)=xe^x, calculando previamente sus extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad y su asíntotas.


Solución:

El dominio de esta función es \mathbb R donde es continua y derivable.
Para estudiar la monotonía de f, comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

f'(x)=e^x+xe^x=0~;\\\\e^x(1+x)=0~;\\\\\bullet~e^x=0~!!!\\\bullet~1+x=0\rightarrow x=-1

Teniendo en cuenta el dominio y el único punto crítico, x=-1, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en el intervalo (-1,+∞)
  • f decrece en el intervalo (-∞,-1)
  • f presenta un mínimo absoluto en (-1,f(-1))=(-1,\frac{-1}e)

Para estudiar la curvatura de f, comenzamos calculando sus puntos de inflexión:

f'(x)=e^x+xe^x~;\\\\f''(x)=e^x+e^x+xe^x=0~;\\\\e^x(2+x)=0\\\\\bullet~e^x=0~!!!\\\bullet~2+x=0\rightarrow x=-2

Teniendo en cuenta el dominio y el único punto de inflexión x=-2, estudiamos la curvatura de f en la siguiente tabla de curvatura:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-2)&(-2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f''(x)&-&+\\\hline \mbox{Curvatura }f(x)&\mbox{C\'oncava }\cap&\mbox{Convexa }\cup\\\hline\end{array}

  • f es cóncava en el intervalo (-∞,-2)
  • f es convexa en el intervalo (-2,+∞)
  • f presenta un punto de inflexión en el punto (-2,f(-2))=(-2,\frac{-2}{e^2})

Calculamos las asíntotas de f.

  • No tiene asíntotas verticales puesto que el dominio es \mathbb R.
  • Asíntota horizontal (utilizamos la regla de L’Hôpital para resolver indeterminaciones del tipo ∞/∞):
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}xe^x=(+\infty)\cdot e^{+\infty}=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}xe^x=\lim_{x\rightarrow+\infty}-xe^{-x}=(-\infty)\cdot e^{-\infty}=(-\infty)\cdot0=\\\\=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-x}{e^x}=\dfrac{-\infty}{e^{+\infty}}=\dfrac{\infty}{\infty}=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-1}{e^x}=\dfrac{-1}{+\infty}=0
    Cuando x tiende a -∞, la función f tiende a la asíntota horizontal y=0.
  • Asíntota oblícua (y=mx+n):
    \displaystyle m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{xe^x}x=\lim_{x\rightarrow+\infty}e^x=+\infty
    Luego, no tiene asíntota oblícua.

Para la representación gráfica es siempre interesante incluir el cálculo de puntos de corte con los ejes. Esta función corta al eje y en (0,f(0))=(0,0) donde también corta al eje x.

Con todos los datos expuestos anteriormente, el esbozo de f es semejante a la siguiente gráfica:

p1009

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