Problema 1009

Representar gráficamente la función , calculando previamente sus extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad y su asíntotas.


Solución:

El dominio de esta función es donde es continua y derivable.
Para estudiar la monotonía de f, comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

Teniendo en cuenta el dominio y el único punto crítico, x=-1, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla de monotonía:

  • f crece en el intervalo (-1,+∞)
  • f decrece en el intervalo (-∞,-1)
  • f presenta un mínimo absoluto en

Para estudiar la curvatura de f, comenzamos calculando sus puntos de inflexión:

Teniendo en cuenta el dominio y el único punto de inflexión x=-2, estudiamos la curvatura de f en la siguiente tabla de curvatura:

  • f es cóncava en el intervalo (-∞,-2)
  • f es convexa en el intervalo (-2,+∞)
  • f presenta un punto de inflexión en el punto

Calculamos las asíntotas de f.

  • No tiene asíntotas verticales puesto que el dominio es .
  • Asíntota horizontal (utilizamos la regla de L’Hôpital para resolver indeterminaciones del tipo ∞/∞):

    Cuando x tiende a -∞, la función f tiende a la asíntota horizontal y=0.
  • Asíntota oblícua :

    Luego, no tiene asíntota oblícua.

Para la representación gráfica es siempre interesante incluir el cálculo de puntos de corte con los ejes. Esta función corta al eje y en donde también corta al eje x.

Con todos los datos expuestos anteriormente, el esbozo de f es semejante a la siguiente gráfica:

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