Problema 1010

Demuestre que la ecuación x^3-12x=-2 tiene una solución en el intervalo [-2,2] y pruebe además que esa solución es única.


Solución:

Definimos la función f(x)=x^3-12x+2. Se trata de una función polinómica que es continua en el intervalo [-2,2].
La ecuación x^3-12x=-2 es equivalente a x^3-12x+2=0. En las soluciones de esta ecuación se cumple f(x)=0.

Utilizamos el teorema de Bolzano para probar la existencia de dicha solución:

\bullet~f(-2)=(-2)^3-12\cdot(-2)+2=18\\\bullet~f(2)=2^3-12\cdot2+2=-14

Luego, f(-2)\cdot f(2)=18\cdot(-14)<0 y según el teorema de Bolzano existe un valor c\in(-2,2) tal que f(c)=0.

Para probar la unicidad de dicha solución estudiamos la monotonía de f en dicho intervalo. Comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=3x^2-12=0~;\\\\3x^2=12~;\\\\x^2=4~;\\\\x=\pm2

Tenemos que los puntos críticos son x=-2 y x=2, luego, dentro del intervalo (-2,2) no hay cambio de monotonía, luego, la solución es única.

CyL-MII-O-20-2B

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