Problema 1011

a) Calcular \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x-\cos(x)-x}{e^x+\text{sen}(x)-1}.

b) Calcular \int_0^{\pi/2}(\text{sen}(x)+\cos(x))~dx.


Solución:

a) Las indeterminaciones del tipo 0/0 las resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x-\cos(x)-x}{e^x+\text{sen}(x)-1}=\dfrac{1-1-0}{1+0-1}=\dfrac00=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x+\text{sen}(x)-1}{e^x+\cos(x)}=\dfrac{1+0-1}{1+1}=\dfrac02=\boxed0


b) Se trata de una integral inmediata:

\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\text{sen}(x)+\cos(x))~dx=\Big[-\cos(x)+\text{sen}(x)\Big]_0^{\pi/2}=\\\\=\left(-\cos\left(\frac\pi2\right)+\text{sen}\left(\frac\pi2\right)\right)-\Big(-\cos(0)+\text{sen}(0)\Big)=\\\\=(0+1)-(-1+0)=\boxed2

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