Problema 1012

a) Calcule los puntos de corte de las gráficas de las funciones f(x)=\frac2x y g(x)=3-x.

b) Sabiendo que en el intervalo [1,2] se verifica que g(x)\geq f(x) calcular el área del recinto limitado por la gráfica de ambas funciones en dicho intervalo.


Solución:

a) Para calcular dónde se cortan dos funciones, igualamos ambas funciones y resolvemos:

\dfrac2x=3-x~;\\\\2=(3-x)x~;\\\\2=3x-x^2~;\\\\x^2-3x+2=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1 y x=2.
Los puntos de corte son (1,f(1))=\boxed{(1,2)} y (2,f(2))=\boxed{(2,1)}.


b) En el intervalo dado ambas funciones son continuas e integrables luego, el área S buscada es:

\displaystyle S=\int_1^2(3-x)-\dfrac2x~dx=\left[3x-\dfrac{x^2}2-2\ln|x|\right]_1^2=\\\\=\left(3\cdot2-\dfrac42-2\ln(2)\right)-\left(3\cdot1-\dfrac12-2\ln(1)\right)=\\\\=3-\dfrac32-2\ln(2)=\dfrac32-2\ln(2)\approx0.1137\text{ u.a.}

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