Problema 1015

Un comerciante dispone de 350000 € para comprar dos modelos de lámparas. El modelo A tiene un coste de 150 € y produce, por cada unidad que se vende, un beneficio de 15 €. El modelo B tiene un coste de 100 € y produce, por cada unidad que se vende, un beneficio de 11 €. Por experiencia sabe que sólo puede almacenar 3000 lámparas como máximo y que puede vender como máximo 2000 lámparas del modelo A. Determina, utilizando técnicas de programación lineal, cuántas lámparas de cada modelo debe comprar para maximizar el beneficio conseguido en las ventas. Calcula ese beneficio máximo.


Solución:

Sea x el número de lámparas del modelo A y sea y el número de lámparas del modelo B.
El comerciante dispone de 350000€ para comprar las lámparas:

150x+100y\leq350000\qquad\rightarrow\qquad3x+2y\leq7000

Puede almacenar hasta 3000 lámparas:

x+y\leq3000

Puede vender hasta 2000 lámparas del modelo A:

x\leq2000

Junto con las restricciones de positividad, formamos el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}3x+2y\leq7000\\x+y\leq3000\\x\leq2000\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

A partir de las restricciones anteriores escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos:

\left\{\begin{array}{l}3x+2y=7000\\x+y=3000\\x=2000\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p1015

La región sombreada es la región factible formada por los puntos que verifican todas las restricciones.
Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los sistemas formados por las ecuaciones de las rectas que dan lugar a dichos vértices:

\begin{array}{ll}A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow A=(0,0)\\\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\x+y=3000\end{array}\right.&\rightarrow B=(0,3000)\\\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}3x+2y=7000\\x+y=3000\end{array}\right.&\rightarrow C=(1000,2000)\\\\D\rightarrow\left\{\begin{array}{l}3x+2y=7000\\x=2000\end{array}\right.&\rightarrow D=(2000,500)\\\\E\rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=0\\x=2000\end{array}\right.&\rightarrow E=(2000,0)\end{array}

Hemos de maximizar la función beneficio:

f(x,y)=15x+11y

Evaluamos la función beneficio en cada vértice:

A\rightarrow f(0,0)=15\cdot0+11\cdot0=0\\B\rightarrow f(0,3000)=33000\\C\rightarrow f(1000,2000)=37000\\D\rightarrow f(2000,500)=35500\\E\rightarrow f(2000,0)=30000

El máximo beneficio se obtiene en el vértice C, es decir, si el comerciante compra 1000 lámparas del modelo A y 2000 lámparas del modelo B obtendrá un beneficio de 37000€.

CyL-MCCSS-E-19-1A

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