Problema 1016

Representa gráficamente la función y=-ax^3-bx+c, sabiendo que pasa por el origen de coordenadas y que tiene un mínimo relativo en el punto (x,y)=(1,-1). Justifica brevemente la representación gráfica obtenida.


Solución:

La función f(x)=y tiene un mínimo relativo en el punto (1,-1), es decir:

  • f(1)=-1
  • f'(1)=0

Pasa por el origen de coordenadas (0,0):

  • f(0)=0

Con estas tres ecuaciones formamos un sistema:

f(1)=-a\cdot1^3-b\cdot1+c=-a-b+c=-1\\f(0)=-a\cdot0^3-b\cdot0+c=c=0\\\\f'(x)=-3ax^2-b\\f'(1)=-3a\cdot1^2-b=-3a-b=0

\left\{\begin{array}{rl}-a-b+c&=-1\\c&=0\\-3a-b&=0\end{array}\right.

sistema cuya solución es c=0, a=-1/2, b=3/2. La función a representar es y=\dfrac{x^3}2-\dfrac{3x}2.

La función es polinómica por lo que no tiene asíntotas. Para su representación debemos estudiar al menos su monotonía. Comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{3x^2}2-\dfrac32=0~;\\\\3x^2-3=0~;\\\\x=\pm1

Con los puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio de f, estudiamos su monotonía en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • Crece en (-\infty,-1)\cup(1,+\infty)
  • Decrece en (-1,1)
  • Máximo en (-1,f(-1))=(-1,1)
  • Mínimo en (1,f(1))=(1,-1)

Recordando que f también pasa por el origen de coordenadas, el esbozo de la gráfica es semejante a la siguiente figura:

p1016

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