Problema 1016

Representa gráficamente la función , sabiendo que pasa por el origen de coordenadas y que tiene un mínimo relativo en el punto . Justifica brevemente la representación gráfica obtenida.


Solución:

La función tiene un mínimo relativo en el punto (1,-1), es decir:

Pasa por el origen de coordenadas (0,0):

Con estas tres ecuaciones formamos un sistema:

sistema cuya solución es c=0, a=-1/2, b=3/2. La función a representar es .

La función es polinómica por lo que no tiene asíntotas. Para su representación debemos estudiar al menos su monotonía. Comenzamos calculando sus puntos críticos:

Con los puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio de f, estudiamos su monotonía en la siguiente tabla:

  • Crece en
  • Decrece en
  • Máximo en
  • Mínimo en

Recordando que f también pasa por el origen de coordenadas, el esbozo de la gráfica es semejante a la siguiente figura:

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