Una multinacional farmacéutica elabora un test para la detección precoz de la enfermedad producida por el virus del Ébola. El test da positivo en el 86% de las personas que son portadoras del virus y da negativo en el 92% de las personas que no son portadoras del virus. Además, en una cierta zona geográfica el 2% de la población es portadora del virus. Se elige al azar una persona de esa zona geográfica y se la somete al test. Calcula razonadamente la probabilidad de que sea portadora del virus sabiendo que el test ha dado positivo.
Solución:
Sea V el suceso “ser portador del virus” y sea A “dar positivo en el test”. A partir del enunciado conocemos las siguientes probabilidades:
![P[A/V]=0.86](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BA%2FV%5D%3D0.86&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[A/V]=0.86")
![P[\overline A/\overline V]=0.92](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5B%5Coverline+A%2F%5Coverline+V%5D%3D0.92&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[\overline A/\overline V]=0.92")
![P[V]=0.02](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BV%5D%3D0.02&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[V]=0.02")
Con estos datos podemos completar el siguiente diagrama de árbol:
Nos piden la probabilidad ![P[V/A]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BV%2FA%5D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[V/A]")
![P[V/A]=\dfrac{P[V]\cdot P[A/V]}{P[A]}\qquad(1)](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BV%2FA%5D%3D%5Cdfrac%7BP%5BV%5D%5Ccdot+P%5BA%2FV%5D%7D%7BP%5BA%5D%7D%5Cqquad%281%29&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[V/A]=\dfrac{P[V]\cdot P[A/V]}{P[A]}\qquad(1)")
siendo la probabilidad total ![P[A]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BA%5D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[A]")
![P[A]=P[V]\cdot P[A/V]+P[\overline V]\cdot P[A/\overline V]=\\\\=P[V]\cdot P[A/V]+(1-P[V])\cdot (1-P[\overline A/\overline V])=\\\\=0.02\cdot0.86+(1-0.02)\cdot(1-0.92)=0.0956](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BA%5D%3DP%5BV%5D%5Ccdot+P%5BA%2FV%5D%2BP%5B%5Coverline+V%5D%5Ccdot+P%5BA%2F%5Coverline+V%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3DP%5BV%5D%5Ccdot+P%5BA%2FV%5D%2B%281-P%5BV%5D%29%5Ccdot+%281-P%5B%5Coverline+A%2F%5Coverline+V%5D%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D0.02%5Ccdot0.86%2B%281-0.02%29%5Ccdot%281-0.92%29%3D0.0956&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[A]=P[V]\cdot P[A/V]+P[\overline V]\cdot P[A/\overline V]=\\\\=P[V]\cdot P[A/V]+(1-P[V])\cdot (1-P[\overline A/\overline V])=\\\\=0.02\cdot0.86+(1-0.02)\cdot(1-0.92)=0.0956")
Sustituyendo en (1):
![P[V/A]=\dfrac{0.02\cdot0.86}{0.0956}=\boxed{0.1799}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BV%2FA%5D%3D%5Cdfrac%7B0.02%5Ccdot0.86%7D%7B0.0956%7D%3D%5Cboxed%7B0.1799%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[V/A]=\dfrac{0.02\cdot0.86}{0.0956}=\boxed{0.1799}")
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