Problema 1019

Se considera el sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{rl}x+y-(1-a^2)z&=0\\2x+4y+6z&=0\\2x+5y+z&=0\end{array}\right.

Calcula razonadamente los valores del parámetro a para que el sistema tenga soluciones distintas de la solución trivial (0,0,0).


Solución:

Se trata de un sistema homogéneo. Para que este sistema tenga soluciones distintas a la trivial, el sistema debe ser compatible indeterminado.
Discutimos el sistema utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius. Escribimos el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}1&1&-1+a^2\\2&4&6\\2&5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}

Estudiamos el rango de la matriz de coeficientes M utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}1&1&-1+a^2\\2&4&6\\2&5&1\end{vmatrix}=4+12+10(-1+a^2)-8(-1+a^2)-2-30=\\\\=-18+2a^2

Determinante que se anula para:

2a^2-18=0~;\\\\a^2=9~;\\\\a=\pm3

Entonces, según el teorema de R-F:

  • Si a≠3 y a≠-3, entonces el rango de M es 3 y el sistema es compatible determinando cuya solución es la trivial.
  • Si a=3 o a=-3, entonces el rango de M es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\2&4\end{vmatrix}=2\neq0 y el sistema es compatible indeterminado, teniendo soluciones distintas a la trivial.

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