Problema 1023

Se considera el sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro a:

\left\{\begin{array}{rl}x+2y+z&=0\\-3x+2y-5z&=2\\x+2y-az&=-1\end{array}\right.

a) Clasificar el sistema según sus soluciones para los diferentes valores de a.
b) Resolver el sistema para a=-2.


Solución:

a) Para clasificar el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}1&2&1\\-3&2&-5\\1&2&-a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}1&2&1\\-3&2&-5\\1&2&-a\end{vmatrix}=-2a-10-6-2-6a+10=-8a-8

Determinante que se anula para a=-1, luego:

  • Si a≠-1, tenemos que rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=-1, tenemos M=\begin{pmatrix}1&2&1\\-3&2&-5\\1&2&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&2\\-3&2\end{vmatrix}\neq0. Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&2&0\\-3&2&2\\1&2&-1\end{vmatrix}=-2+4-6-4=-8\neq0
    Luego, rg(M*)=3, y el sistema es incompatible.

b) Para a=-2 el sistema es:

\left\{\begin{array}{rl}x+2y+z&=0\\-3x+2y-5z&=2\\x+2y+2z&=-1\end{array}\right.

Sabemos que en este caso el sistema es compatible determinado. Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}0&2&1\\2&2&-5\\-1&2&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&1\\-3&2&-5\\1&2&2\end{vmatrix}}=\dfrac{10+4+2-8}{-8\cdot(-2)-8}=\dfrac88=1

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&0&1\\-3&2&-5\\1&-1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&1\\-3&2&-5\\1&2&2\end{vmatrix}}=\dfrac{4+3-2-5}8=\dfrac08=0

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&2&0\\-3&2&2\\1&2&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&1\\-3&2&-5\\1&2&2\end{vmatrix}}=\dfrac{-2+4-6-4}8=\dfrac{-8}8=-1

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