Problema 1023

Se considera el sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro a:

a) Clasificar el sistema según sus soluciones para los diferentes valores de a.
b) Resolver el sistema para a=-2.


Solución:

a) Para clasificar el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial :

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M utilizando determinantes:

Determinante que se anula para a=-1, luego:

  • Si a≠-1, tenemos que rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=-1, tenemos cuyo rango es 2 ya que . Calculamos el rango de la matriz ampliada:

    Luego, rg(M*)=3, y el sistema es incompatible.

b) Para a=-2 el sistema es:

Sabemos que en este caso el sistema es compatible determinado. Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

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